Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．今年暑假我校學(xué)生公寓建造了可使用15年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為4萬元．學(xué)生公寓每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=

k

2x+3

(0≤x≤10，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為10萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與15年的能源消耗費用之和．
（1）求k的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）我校做到了使總費用f（x）達(dá)到最小，請你計算學(xué)生公寓隔熱層修建的厚度和總費用的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)不建隔熱層，每年能源消耗費用為10萬元．我們可得C（0）=10，得k=30，進(jìn)而得到C（x）的解析式，建造費用為C₁（x）=4x，則根據(jù)隔熱層建造費用與15年的能源消耗費用之和為f（x），從而得到f（x）的表達(dá)式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表達(dá)式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費用f（x）的最小值．

解答：解：（1）由題意，當(dāng)x=0，C（x）=10，代入C（x）=

k

2x+3

，得k=30．…（3分）
所以f（x）=4x+15C（x）=4x+

450

2x+3

（0≤x≤10）…（6分）
（2）f（x）=4x+

450

2x+3

=4x+6+

450

2x+3

-6
=2（2x+3）+

450

2x+3

-6≥2

2(2x+3)• 450 2x+3

-6=54…（10分）
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)2（2x+3）=

450

2x+3

即x=6．…（12分）
因此隔熱層修建6 cm時，總費用f（x）達(dá)到最小，最小值為54元．…（13分）
f′（x）=4-

900

(2x+3)2

=

16(x+9)(x-6)

(2x+3)2

，當(dāng)x=6時f′（x）=0…（14分）

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用，在解決函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個過程，屬于中檔題．