Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，一般都要在屋頂和外墻建造隔熱層．某建筑物要造可使用30年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能耗費用W（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：厘米）滿足關系W=

m

3x+4

，（0≤x≤15），若不建隔熱層，每年能耗為10萬元．設f（x）為隔熱層的建造費用與30年總計的能耗費用之和．
（1）求m的值和f（x）；
（2）當x=4時，以隔熱層使用壽命30年計算，平均每年比不建隔熱層節(jié)約多少錢？

Answer 1

分析：（1）由建筑物每年的能源消耗費用W（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：W=

m

3x+4

，（0≤x≤15），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為10萬元．我們可得W（0）=10，解得m=40．故W=

40

3x+4

，（0≤x≤15）．根據(jù)隔熱層建造費用與30年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表達式，當x=4，f（4）=

1200

3×4+4

+6× 4=99．故x=4時，以隔熱層使用壽命30年計算，平均每年需

99

30

=3.3（萬元），由此能求出以隔熱層使用壽命30年計算，平均每年比不建隔熱層節(jié)約錢數(shù)．

解答：解：（1）設隔熱層厚度為xcm，由題設，每年能源消耗費用為W=

m

3x+4

，（0≤x≤15），
再由W（0）=10，得

m

3×0+4

=10，
解得m=40．
∴W=

40

3x+4

，（0≤x≤15）．
而建造費用為W₁（x）=6x，
最后得隔熱層建造費用與30年的能源消耗費用之和為
f（x）=30W+W₁（x）=30×

40

3x+4

+6x=

1200

3x+4

+6x（0≤x≤15）．
（2）當x=4，f（4）=

1200

3×4+4

+6× 4=99．
∴x=4時，以隔熱層使用壽命30年計算，平均每年需

99

30

=3.3（萬元），
∴當x=4時，以隔熱層使用壽命30年計算，平均每年比不建隔熱層節(jié)約：
10-3.3=6.7（萬元）．

點評：函數(shù)的實際應用題，我們要經過析題→建�！�解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．