18.已知數(shù)列{an}滿足an>0且an=$\frac{{2a}_{n+1}}{1{-a}_{n+1}^{2}}$(n∈N*),證明:an+1<$\frac{1}{2}$an(n∈N*

分析 通過分析,只需證an+1<$\frac{{a}_{n+1}}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$,即證0<1-an+12<1,計(jì)算即得結(jié)論;

解答 證明:∵an=$\frac{{2a}_{n+1}}{1{-a}_{n+1}^{2}}$,an>0(n∈N*),
∴$\frac{1}{2}$an=$\frac{{a}_{n+1}}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$,要證an+1<$\frac{1}{2}$an(n∈N*),只需證an+1<$\frac{{a}_{n+1}}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$,
∵數(shù)列{an}滿足an>0,
∴只需證1<$\frac{1}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$,
又∵0<an=$\frac{{2a}_{n+1}}{1{-a}_{n+1}^{2}}$≤$\frac{(1+{a}_{n+1})^{2}}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1+{a}_{n+1}}{1-{a}_{n+1}}$,
∴0<1-an+12<1,
∴$\frac{1}{1-{{a}_{n+1}}^{2}}$>1,
即an+1<$\frac{1}{2}$an(n∈N*);

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查運(yùn)算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.若C${\;}_{8}^{n}$=C${\;}_{8}^{2}$,則n的值為( 。
A.2或6B.6C.2D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

17.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+c(x∈R),若函數(shù)f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是增函數(shù),則x2-x1的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

6.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,P為棱AA1的中點(diǎn),在面BB1D1D上任取一點(diǎn)E,使得EP+EA最小,則最小值為$\frac{3}{2}$a.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

13.已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x+x,若函數(shù)g(x)=f(x)-log2a在[-2,2]上有零點(diǎn),則a的取值范圍是$[\frac{1}{64},\frac{1}{2})∪(2,64]∪\{1\}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

3.設(shè)函數(shù)g(x)=lnx,f(x)=g[λx+(1-λ)a]-λg(x),其中a,λ是正常數(shù),且0<λ<1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最值;
(Ⅱ)對(duì)于任意的正數(shù)m,是否存在正數(shù)x0,使不等式|$\frac{{g({x_0}+1)}}{x_0}$-1|<m成立?并說(shuō)明理由;
(Ⅲ)設(shè)λ1>0,λ2>0,且λ12=1,證明:對(duì)于任意正數(shù)a1,a2都有a1λ1a2λ2≤λ1a12a2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.在平面直角坐標(biāo)系中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\(chéng)\ y=4sinφ\(chéng)end{array}\right.(φ為參數(shù))$,直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn).
(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的普通方程;
(2)求曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y)到直線l距離的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.已知二項(xiàng)展開式(2-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N且n≥2)
(1)當(dāng)n=2013時(shí),求a0
(2)當(dāng)n=18時(shí),求a1+2a2+3a3+…+18a18

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.為求方程ln(2x+6)+2=3y的根的近似值,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用計(jì)算器得到如表:
x1.001.25 1.3751.50
 y1.0790.200-0.3661-1.00
則由表中的數(shù)據(jù),可得方程ln(2x+6)+2=3x的一個(gè)近似值(精確到0.1)為( 。
A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案