Question

5．坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集S滿足S=$\{（x，y）|{log_2}（{y^2}-y+2）=2{sin^4}x+2{cos^4}x，-\frac{π}{8}≤x≤\frac{π}{4}\}$，將點(diǎn)集S中的所有點(diǎn)向y軸作投影，所得投影線段的總長(zhǎng)度為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\sqrt{8\sqrt{2}-7}$
• D． 2

Answer 1

分析 先求出2sin⁴x+2cos⁴x=2-4sin²x•cos²x=2-（sin2x）²的范圍，即可得出函數(shù)x=log₂（y²-y+2）的值域范圍，從而求出函數(shù)函數(shù)x=log₂（y²-y+2）的定義域，進(jìn)一步可求投影長(zhǎng)度．

解答 解：1=（sin²x+cos²x）²=sin⁴x+cos⁴x+2sin²x•cos²x，
∴2sin⁴x+2cos⁴x=2-4sin²x•cos²x=2-（sin2x）²，
∵x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin2x≤1，
∴2-（sin2x）²∈[1，2]
∴l(xiāng)og₂（y²-y+2）∈[1，2]，
∴2≤y²-y+2≤4，
∴-1≤y≤0，或1≤y≤2
故y的投影長(zhǎng)度為1+1=2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查函數(shù)定義域與值域問(wèn)題，考查的較為靈活，做題中要注意轉(zhuǎn)化．