Question

【題目】已知函數(shù) 在 上有最大值1和最小值0，設(shè) .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 上有解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（3）若方程 ( 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，當(dāng) 時(shí)， 在 上是增函數(shù)，∴ ，

即 ，解得 ，

當(dāng) 時(shí)， ，無最大值和最小值；

當(dāng) 時(shí)， 在 上是減函數(shù)，∴ ，即 ，解得 ，

∵ ，∴ 舍去.

綜上， 的值分別為1、0

（2）解：由（1）知 ，∴ 在 上有解等價(jià)于

在 上有解，

即 在 上有解，令 ，則 ，

∵ ，∴ ，記 ，∵ ，∴ ，

∴ 的取值范圍為

（3）解：原方程可化為 ，令 ，則 ，

由題意知 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解 ， ，

其中 ， 或 ， ，

記 ，則 得

【解析】（1）根據(jù)m的取值不同討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最大值和最小值，列出方程組即可求解；（2）原不等式等價(jià)于+2k在[2,4]上有解，即2k+1在[2,4]上有解，令t=，構(gòu)造函數(shù)（t）=t2-2t+1，并求出該函數(shù)在[,1]上的最大值，進(jìn)而可求出k的取值范圍；（3）將原方程化簡(jiǎn)，令q=，構(gòu)造函數(shù)h（q）=q2-（3a+2）q+2a+1.