Question

已知兩個向量

a

，

b

滿足|

a

|=2，|

b

|=1，

a

，

b

的夾角為60°，

m

=2x

a

+7

b

，

n

=

a

+x

b

，x∈R．
（1）若

m

，

n

的夾角為鈍角，求x的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，求f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定

a

•

b

的值，再由

m

，

n

的夾角為鈍角可知

m

•

n

＜0，代入即可解題．
（2）根據(jù)（1）中

m

•

n

的值確定函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出在[-1，1]上的最大值與最小值．

解答：解：（1）

a

•

b

=|a||b|cos60°=2×1×cos60°=1，

m

，

n

的夾角為鈍角，得

m

•

n

＜0，且

m

≠λ

n

∴

m

•

n

=（2x

a

+7

b

）•（

a

+x

b

）=2x

a

²+2

a

•

b

+2x²

a

•

b

+7

b

²
=8x+2x²+7+7x
=2x²+15x+7＜0
解得-7＜x＜-

1

2

，

m

≠λ

n

可得

2x≠λ 7≠λx

，解得x≠-

14

2

∴x的取值范圍是(-7，-

14

2

)∪(-

14

2

，-

1

2

)；
（2）由（1）得f(x)=2x2+15x+7=2(x+

15

4

)2-

169

8

，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-1）=2-15+7=-6，f（x）_max=f（1）=2+15+7=24．

點評：本題主要考查向量的點乘運算和二次函數(shù)的最值問題．屬基礎(chǔ)題．