Question

【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=3,AB=,BE=EC,AD=2DC.

(1)證明:DE⊥平面PAE;

(2)求二面角A-PE-B的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明AB, AC, AP兩兩垂直，然后以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證明=0，，從而得到DE⊥AE,DE⊥AP,故得結(jié)論成立．（2）由題意求得平面PEB的法向量，又由（1）得=(1,-1,0)是平面APE的一個法向量，求出后再結(jié)合圖形得到所求的余弦值．

(1)證明：

∵PA⊥平面ABC, AB, AC在平面ABC內(nèi)，

∴PA⊥AB,PA⊥AC.

又AB⊥AC,

∴AB, AC, AP兩兩垂直，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由題意得A(0,0,0),B,C(0,3,0),P(0,0,3),

∵BE=EC,

∴E(1,1,0).

∵AD=2DC,

∴D(0,2,0).

∴=(1,-1,0),=(1,1,0).

∵=0,

∴,

∴DE⊥AE,

同理可得DE⊥AP,

又AP∩AE=A,

∴DE⊥平面PAE.

(2)解設(shè)是平面PEB的一個法向量,

則

令z=1,則，

由(1)得=(1,-1,0)是平面APE的一個法向量,

∴cos<,>=,

由圖形得二面角A-PE-B為銳角，

∴二面角A-PE-B的余弦值為.