Question

已知函數(shù)．

（1）設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值；

（2）求證: 當時，有；

（3）設(shè),當時,不等式恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1) 取得最大值；（2）；

（3）整數(shù)的最大值是.

【解析】

試題分析：（1）先求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求函數(shù)的最大值；

（2）當時，有，再根據(jù)（1）中有則，所以；

（3）將不等式先轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，因為，結(jié)合（1）中的，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因為，

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當，即，當，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以．

所以．故整數(shù)的最大值是.  

試題解析： (1）, 

所以 ．

當時，；當時，．

因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因此，當時，取得最大值；

（2）當時，．由（1）知：當時，，即．

因此，有．

（3）不等式化為 

所以對任意恒成立．令，

則，令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因為，

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當，即，當，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以．

所以．故整數(shù)的最大值是.  

考點：1、利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再利用單調(diào)性求最值；2、構(gòu)造函數(shù)，通過放縮法證明不等式；3、恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為成立；4、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點，解決函數(shù)的綜合問題，要求學(xué)生有較高的邏輯思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).