Question

（2012•濟(jì)南二模）偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，則關(guān)于x的方程f（x）=(

1

10

)x，在x∈[0，4]上解的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件推導(dǎo)函數(shù)f（x）的周期，再利用函數(shù)與方程思想把問題轉(zhuǎn)化，畫出函數(shù)的圖象，即可求解．

解答：解：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函數(shù)的周期T=2．                         
又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）．
又∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，函數(shù)的周期為2，
∴原函數(shù)的對(duì)稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
設(shè) y₁=f（x），y₂=(

1

10

)x，
方程f（x）=(

1

10

)x 根的個(gè)數(shù)，
即為函數(shù)y₁=f（x），y₂=(

1

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)x的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
由以上條件，可畫出y₁=f（x），y₂=(

1

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)x的圖象：
又因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，y₁＞y₂，∴在（0，1）內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)．
∴結(jié)合圖象可知，在[0，4]上y₁=f（x），y₂=(

1

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)x共有4個(gè)交點(diǎn)．
∴在[0，4]上，原方程有4個(gè)根．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想．轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．