Question

11．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₃=5，a₇=13．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2${\;}^{{（a}_{n}+1）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a₇=a₃+（7-3）d，求得d，代入a₃=a₁+2d，求得a₁，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知a_n=2n-1，代入求得{b_n}是首項(xiàng)為b₁=4¹=4，公比為4的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由a₃=5，a₇=13，
a₇=a₃+（7-3）d，即13=5+4d，
∴d=2，
a₃=a₁+2d，即5=a₁+4，
∴a₁=1．
a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1．
（2）依題意得b_n=2${\;}^{{（a}_{n}+1）}$=4ⁿ，
∴{b_n}是首項(xiàng)為b₁=4¹=4，公比為4的等比數(shù)列，
T_n=$\frac{4-{4}^{n+1}}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1），
∴{b_n}的前n項(xiàng)和$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．