Question

在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|的值最小，則M的坐標(biāo)

（

2 6

3

，-1）

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的方程求得橢圓離心率為e=

1

2

，右準(zhǔn)線方程：x=4．作出橢圓的右準(zhǔn)線l，過M點(diǎn)作MN⊥l于N，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得

|MF|

|MN|

=e=

1

2

，所以2|MF|=|MN|，欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．作PN₀⊥l于N₀，交橢圓于M₀，由平幾知識可得，當(dāng)動點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動，與點(diǎn)M₀重合時，|MP|+|MN|取到最小值．最后設(shè)出點(diǎn)M₀的坐標(biāo)，代入橢圓方程，解之即可得到使|MP|+2|MF|的值最小的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
∴a²=4，b²=3，可得c=

a2-b2

=1
所以橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，右準(zhǔn)線方程：x=

a2

c

=4
作出橢圓的右準(zhǔn)線l如圖，過M點(diǎn)作MN⊥l于N，
根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得

|MF|

|MN|

=e=

1

2

，
∴2|MF|=|MN|，所以|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|．
欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值，
過P（1，-1）作PN₀⊥l于N₀，交橢圓于M₀，由平面幾何知識可得，當(dāng)動點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動，與點(diǎn)M₀重合時，|MP|+2|MF|取到最小值．
設(shè)M₀（x₀，-1），代入橢圓方程得

x02

4

+

(-1)2

3

=1，解之得x₀=

2 6

3

（舍負(fù)）
∴使|MP|+2|MF|的值最小的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

2 6

3

，-1）．
故答案為：（

2 6

3

，-1）．

點(diǎn)評：本題以橢圓中求距離和的最小值的問題為載體，著重考查了橢圓的基本概念和圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識點(diǎn)，屬于中檔題．