Question

為加快新農(nóng)村建設步伐，紅星鎮(zhèn)政府投資c萬元生產(chǎn)甲乙兩種商品，據(jù)測算，投資甲商品x萬元，可獲得利潤P=x萬元，投資乙商品x萬元可獲得利潤Q=40

x

萬元，如果鎮(zhèn)政府聘請你當投資顧問，試問對甲乙兩種商品的資金投入分別是多少萬元？才能獲得最大利潤，獲得最大利潤是多少萬元？

Answer 1

分析：設對甲廠投入x萬元（0≤x≤c），則對乙廠投入為c-x萬元．所得利潤為y=x+40

c-x

（0≤x≤c）．利用換元法，令

c-x

=t（0≤t≤

c

），則x=c-t²，可得y=f（t）=-t²+40t+c=-（t-20）²+c+400，通過對

c

與20的大小關系分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：設對甲廠投入x萬元（0≤x≤c），則對乙廠投入為c-x萬元．
所得利潤為y=x+40

c-x

（0≤x≤c），
令

c-x

=t（0≤t≤

c

），則x=c-t²
∴y=f（t）=-t²+40t+c=-（t-20）²+c+400
當

c

≥20，即c≥400時，則t=20，即x=c-400時，y_max=c+400，
當0＜

c

＜20，即0＜c＜400時，則t=

c

，即x=0時，y_max=40 

c

．
答：若政府投資c不少于400萬元時，應對甲投入c-400萬元，乙對投入400萬元，可獲得最大利潤c+400萬元．政府投資c小于400萬元時，應對甲不投入，的把全部資金c都投入乙商品可獲得最大利潤40

c

萬元．

點評：本題考查了換元法、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．