Question

已知f（x）=

m

x+1

+nlnx（x＞0，m，n為常數(shù)）在x=1處的切線方程為x+y-2=0．
（Ⅰ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[

1

e

，1]，使得對(duì)任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，有4

n

k=1

k

k+1

+

n

k=1

lnk≥2n．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）f′（x）=-

m

(x+1)2

+

n

x

，由于函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x+y-2=0．可得f′（1）=-1，f（1）=1，解出可得f(x)=

2

x+1

-

1

2

lnx．f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

．對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[

1

e

，1]，使得對(duì)任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，可得對(duì)任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）min≥t³-t²-2at+2成立，x∈[

1

e

，1]，即對(duì)任意的t∈[

1

2

，2]上恒有1≥t³-t²-2at+2成立?a≥

1

2

t2-

1

2

t+

1

2t

，對(duì)任意的t∈[

1

2

，2]．令g（t）=

1

2

t2-

1

2

t+

1

2t

，t∈[

1

2

，2]．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（II）由（I）可得f(x)=

2

x+1

-

1

2

lnx．f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

．可得x∈（0，1]，f（x）≥f（1）=1，即

2

x+1

-

1

2

lnx≥1，令x=

1

k

∈（0，1]，k∈N^*．
可得

4

k+1

+lnk≥2，“累加求和”即可得出．

解答： （I）解：f′（x）=-

m

(x+1)2

+

n

x

，
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x+y-2=0．
∴f′（1）=-1，f（1）=1，
∴

- m 4 +n=-1 m 2 =1

，解得

m=2 n=- 1 2

，
∴f(x)=

2

x+1

-

1

2

lnx．
f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

．
當(dāng)x∈[

1

e

，1]，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在x∈[

1

e

，1]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（1）=1．
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[

1

e

，1]，使得對(duì)任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，
∴對(duì)任意的t∈[

1

2

，2]上恒有f（x）min≥t³-t²-2at+2成立，x∈[

1

e

，1]，
即對(duì)任意的t∈[

1

2

，2]上恒有1≥t³-t²-2at+2成立?a≥

1

2

t2-

1

2

t+

1

2t

，對(duì)任意的t∈[

1

2

，2]．
令g（t）=

1

2

t2-

1

2

t+

1

2t

，t∈[

1

2

，2]．
g′（t）=t-

1

2

-

1

2t2

=

2t3-t2-1

2t2

=

(t-1)(2t2+t+1)

2t2

，
容易知道2t²+t+1＞0．
令g′（t）＞0，解得1＜t≤2，此時(shí)函數(shù)g（t）單調(diào)遞增；令g′（t）＜0，解得

1

2

≤t＜1，此時(shí)函數(shù)g（t）單調(diào)遞減．
最大值只能在g(

1

2

)或g（2）中取得，而g(

1

2

)=

1

8

-

1

4

+1=

7

8

，g（2）=

5

4

．
∴g(x)max=

5

4

．
∴a≥

5

4

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

5

4

，+∞)．
（II）證明：由（I）可得f(x)=

2

x+1

-

1

2

lnx．
f′（x）=-

2

(x+1)2

-

1

2x

．
∴當(dāng)x∈（0，1]，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴?x∈（0，1]，f（x）≥f（1）=1，
即

2

x+1

-

1

2

lnx≥1，
令x=

1

k

∈（0，1]，k∈N^*．
則

2

1 k +1

-

1

2

ln

1

k

≥1，
化為

4

k+1

+lnk≥2，
∴對(duì)任意正整數(shù)n，有4

n

k=1

k

k+1

+

n

k=1

lnk≥2n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論證明不等式的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．