Question

已知函數(shù)f（x）=x（x+a）-

1

2

lnx．
（1）若a=0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出a=0時(shí)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，注意定義域；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令g（x）=4x²+2ax-1，通過(guò)求根公式，求出兩根，再令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值點(diǎn)．

解答： 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=x²-

1

2

lnx，（x＞0），
f′（x）=2x-

1

2x

=

(2x-1)(2x+1)

2x

，
令f′（x）＞0，得x＞

1

2

，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，
即有f（x）的增區(qū)間為（

1

2

，+∞），減區(qū)間為（0，

1

2

）；
（2）函數(shù)f（x）=x（x+a）-

1

2

lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+a-

1

2x

=

4x2+2ax-1

2x

，（x＞0），令g（x）=4x²+2ax-1，
由于判別式△=4a²+16＞0，則g（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且為一正一負(fù)，
令x₁=

-a+ a2+4

4

，x₂=

-a- a2+4

4

，可得x₁＞0，x₂＜0，
令f′（x）＞0，解得，x＞x₁，令f′（x）＜0，解得，0＜x＜x₁，
則f（x）在x=x₁=

-a+ a2+4

4

處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，取得極小值，無(wú)極大值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．