Question

9．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx，1+cosωx），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，1-cosωx），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中ω＞0，若f（x）的一條對(duì)稱軸離最近的對(duì)稱中心的距離為$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的對(duì)稱中心；
（2）若g（x）=f（x）+m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得f（x）的解析式，再由降冪公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合四分之一周期求得ω，再由相位終邊落在x軸上求得函數(shù)的對(duì)稱中心；
（2）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性，再求出f（0）、f（$\frac{π}{3}$）、f（$\frac{π}{2}$）的值，由g（x）=f（x）+m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)即可求得m的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinωxcosωx+（1-cosωx）（1+cosωx）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+1-\frac{1+cos2ωx}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∵f（x）的一條對(duì)稱軸離最近的對(duì)稱中心的距離為$\frac{π}{4}$，且ω＞0，
∴$\frac{T}{4}=\frac{2π}{8ω}=\frac{π}{4}$，ω=1．
∴f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
由$2x-\frac{π}{6}=kπ$，k∈Z，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，k∈Z$．
∴f（x）的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，\frac{1}{2}$），k∈Z；
（2）$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]，單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]，
∵g（x）=f（x）+m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴f（x）=-m在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
∵$f（0）=0，f（\frac{π}{3}）=\frac{3}{2}，f（\frac{π}{2}）=1$，
∴1≤-m＜$\frac{3}{2}$，則$-\frac{3}{2}$＜m≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查根的存在性及根個(gè)數(shù)的判斷方法，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化”思想方法，是中檔題．