Question

4．已知向量$\overrightarrow a=（{sin（ωx+φ），2}）$，$\overrightarrow b=（{1，cos（ωx+φ）}）$，$（ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{4}）$，函數(shù)$f（x）=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，已知y=f（x）的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為1，且經(jīng)過點(diǎn)$M（1，\frac{7}{2}）$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式
（Ⅱ）先將函數(shù)y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摩斜�，縱坐標(biāo)不變，再向右平移m（m＞0）個單位長度，向下平移3個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積的定義，正弦函數(shù)的周期性求得ω，再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，求得函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）依題意利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性，求得m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）（\overrightarrow a-\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}-{\overrightarrow b^2}$=sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ）=-cos（2ωx+2φ）+3，
由題可知，$\frac{T}{4}=1$，∴T=4，∴由$T=\frac{2π}{2ω}=4$得$ω=\frac{π}{4}$．
又∵函數(shù)f（x）經(jīng)過點(diǎn)$M（1，\frac{7}{2}）$，∴$-cos（\frac{π}{2}•1+2φ）+3=\frac{7}{2}$，∴$cos（\frac{π}{2}+2φ）=-\frac{1}{2}$，
∵$0＜φ＜\frac{π}{4}$，∴$\frac{π}{2}+2φ=\frac{2π}{3}$，即$φ=\frac{π}{12}$，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$-cos（\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}）+3$．
（Ⅱ）先將函數(shù)y=f（x）=-cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）+3圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摩斜�，縱坐標(biāo)不變，
可得y=-cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）+3的圖象；
再向右平移m（m＞0）個單位長度，向下平移3個單位長度，得到函數(shù)y=$g（x）=-cos（{\frac{1}{2}（x-m）+\frac{π}{6}}）$
=$-cos（\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}m+\frac{π}{6}）$ 的圖象．
∵函數(shù)g（x）關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，即$-\frac{1}{2}m+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
∴$m=-2kπ-\frac{2π}{3}（k∈Z）$，
∵m＞0，∴當(dāng)k=-1時(shí)，m的最小值為$\frac{4π}{3}$，
∴綜上所述，實(shí)數(shù)m的最小值為$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，正弦函數(shù)的周期性、奇偶性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．