Question

18．已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）+1（x∈R，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，且f（0）=2．
（I）求ω和φ的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （I）由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性以及周期性求得ω的值，再根據(jù)f（0）=2，求得φ的值．
（Ⅱ）由以上可得函數(shù)f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），再利用余弦函數(shù)的最值，函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）+1（x∈R，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
再根據(jù)f（0）=2cos（0+φ）+1=2cosφ+1=2，∴cosφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由以上可得函數(shù)f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），故它的最大值為2，此時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$=2kπ，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性以及周期性，余弦函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．