Question

3．設(shè)拋物線C₁：y²=2px（p＞0），點(diǎn)M在拋物線C₁上，且|FM|=10，若以線段FM為直徑的圓C₂過點(diǎn)A（0，3），則圓心C₂到拋物線的準(zhǔn)線的距離為（　　）

• A． 6
• B． 6或14
• C． 14
• D． 2或18

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得|MN|=|FM|=10，求得M的橫坐標(biāo)，再由直角三角形的性質(zhì)：斜邊的中線為斜邊的一半，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得圓C₂的圓心為（5，3），求得M（10-$\frac{p}{2}$，6），代入拋物線的方程，解得p的值，即可得到所求距離．

解答 解：拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），
準(zhǔn)線為l：x=-$\frac{p}{2}$，
由|FM|=10，由拋物線的定義可得|MN|=|FM|=10，
即有x_M+$\frac{p}{2}$=10，即x_M=10-$\frac{p}{2}$，
以線段FM為直徑的圓C₂過點(diǎn)A（0，3），
連接AM，AF，可得|AC₂|=$\frac{1}{2}$|FM|=5，
可得圓C₂的圓心為（5，3），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M（10-$\frac{p}{2}$，6），
代入拋物線的方程可得36=2p（10-$\frac{p}{2}$），
解得p=2或18．
則圓心C₂到拋物線的準(zhǔn)線的距離為5+$\frac{p}{2}$
=5+1=6或5+9=14．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用定義法解題，考查直角三角形的性質(zhì)：斜邊的中線為斜邊的一半，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．