Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）若，，求在上的最小值；

（3）若，，有三個不同實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)；（2）0；（3）.

【解析】

（1）由判斷即可得解；

（2）由分段函數(shù)求值域問題分，，，，討論即可；

（3）由方程與函數(shù)的關(guān)系可得有三個不同實根，等價于函數(shù)與直線有三個交點，通過求函數(shù)的單調(diào)性及值域即可得解.

解：（1）當(dāng)時，，

則，

故為奇函數(shù)；

（2）當(dāng)時，，

又，

①當(dāng)時，可得函數(shù)在為增函數(shù)，可得；

②當(dāng)時，可得函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

由，

可得當(dāng)時，，即；

當(dāng)時，，即；

③當(dāng)時，由，可得；

綜上可得：當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為；

當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為即；

（3）因為，且有三個不同實根，

則函數(shù)不單調(diào)，且，

因為，又，，

所以當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，則時，函數(shù)不單調(diào)，要使函數(shù)有三個不同實根，則，即，即，

故，

故的取值范圍為：.