Question

（2013•湛江二模）如圖，已知平面上直線l₁∥l₂，A、B分別是l₁、l₂上的動點(diǎn)，C是l₁，l₂之間一定點(diǎn)，C到l₁的距離CM=1，C到l₂的距離CN=

3

，△ABC內(nèi)角A、B、C所對 邊分別為a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA
（1）判斷三角形△ABC的形狀；
（2）記∠ACM=θ，f（θ）=

1

AC

+

1

BC

，求f（θ）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，結(jié)合結(jié)合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A，從而可三角形△ABC的形狀；
（2）記∠ACM=θ，表示出f（θ）=

1

AC

+

1

BC

，利用輔助角公式化簡，即可求f（θ）的最大值．

解答：解：（1）由正弦定理可得：

b

sinB

=

a

sinA

結(jié)合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A
∵a＞b，∴A＞B
∵A，B∈（0，π），∴2B+2A=π，∴A+B=

π

2

，即C=

π

2

∴△ABC是直角三角形；
（2）記∠ACM=θ，由（1）得∠BCN=

π

2

-θ
∴AC=

1

cosθ

，BC=

3

sinθ

∴f（θ）=

1

AC

+

1

BC

=cosθ+

sinθ

3

=

2

3

cos（θ-

π

6

），
∴θ=

π

6

時，f（θ）的最大值為

2 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角形形狀的判定，考查輔助角公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．