Question

如圖，在圓錐中，已知，⊙O的直徑，是的中點，為的中點．

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)題意，由于平面，則可以根據(jù)面面垂直的判定定理來得到。

（2）

【解析】

試題分析：解法1：（1）連結，因為，是中點，所以

又底面⊙O，底面⊙O，所以，                      2分

因為是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面           4分

而平面，所以平面平面.                          6分

（2）在平面中，過作于，

由（1）知，平面平面平面=zxxk

所以平面，又面，所以

在平面中，過作于，連接，

平面，

從而，故為二面角的平面角                   9分

在

在

在

在

所以                    13分

故二面角的余弦值為                                  14分

解法2：如圖所示，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸，軸建立空間直角坐標系，則

，

                         2分

（1）設是平面的一個法向量，

則由，得

所以，取得                           zxxk    4分

設是平面的一個法向量，

則由，得

所以，取，得              6分

因為，所以

從而平面平面                                           8分

（2）因為軸平面，所以平面的一個法向量為

由（1）知，平面的一個法向量為

設向量和的夾角為，則                 13分

所以二面角的余弦值為                                 14分

考點：面面垂直，二面角

點評：主要是考查了面面垂直的判定定理以及二面角的平面角的求解，屬于基礎題。