Question

如圖，在圓錐中，已知，⊙O的直徑，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)題意，由于平面，則可以根據(jù)面面垂直的判定定理來(lái)得到。

（2）

【解析】

試題分析：解法1：（1）連結(jié)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082013215746918388/SYS201308201322241989405445_DA.files/image005.png">，是中點(diǎn)，所以

又底面⊙O，底面⊙O，所以，                      2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082013215746918388/SYS201308201322241989405445_DA.files/image012.png">是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面           4分

而平面，所以平面平面.                          6分

（2）在平面中，過(guò)作于，

由（1）知，平面平面平面=zxxk

所以平面，又面，所以

在平面中，過(guò)作于，連接，

平面，

從而，故為二面角的平面角                   9分

在

在

在

在

所以                    13分

故二面角的余弦值為                                  14分

解法2：如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，

                         2分

（1）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則由，得

所以，取得                           zxxk    4分

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則由，得

所以，取，得              6分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082013215746918388/SYS201308201322241989405445_DA.files/image062.png">，所以

從而平面平面                                           8分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082013215746918388/SYS201308201322241989405445_DA.files/image045.png">軸平面，所以平面的一個(gè)法向量為

由（1）知，平面的一個(gè)法向量為

設(shè)向量和的夾角為，則                 13分

所以二面角的余弦值為                                 14分

考點(diǎn)：面面垂直，二面角

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了面面垂直的判定定理以及二面角的平面角的求解，屬于基礎(chǔ)題。