Question

16．在一次購物抽獎活動中，假設某10張券中有一等獎券1張，可兌換現(xiàn)金50元，有二等獎券3張，每張可兌換現(xiàn)金10元，其余6張券沒有獎，某顧客從這10張券中任取2張，
（1）求該顧客中獎的概率；
（2）求該顧客獲得現(xiàn)金總額ξ（元）的概率分布列；
（3）求該顧客獲得現(xiàn)金總額ξ（元）的數(shù)學期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由題意知本題是一個古典概率，而顧客中獎的對立事件是顧客不中獎，從10張中抽2張有${∁}_{10}^{2}$種結果，抽到的不中獎有${∁}_{6}^{2}$種結果，即可得出中獎的概率P=1-$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$．
（2）該顧客獲得現(xiàn)金總額ξ（元）的可能為0，10，20，50，60．則P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$，P（ξ=10）=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$，P（ξ=20）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$，P（ξ=50）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$，P（ξ=60）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$．
（3）由（2）即可得出E（ξ）．

解答 解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
而顧客中獎的對立事件是顧客不中獎，從10張中抽2張有${∁}_{10}^{2}$種結果，抽到的不中獎有${∁}_{6}^{2}$種結果，
∴中獎的概率P=1-$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
（2）該顧客獲得現(xiàn)金總額ξ（元）的可能為0，10，20，50，60．則P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=10）=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，P（ξ=20）=$\frac{{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，P（ξ=50）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，P（ξ=60）=$\frac{{∁}_{1}^{1}•{∁}_{3}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．

ξ	0	10	20	50	60
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

∴EX=0+$10×\frac{2}{5}$+$20×\frac{1}{15}$+50×$\frac{2}{15}$+60×$\frac{1}{15}$=16．

點評 本題考查了古典概率計算公式及其隨機變量的數(shù)學期望、對立事件的概率計算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．