Question

【題目】如圖，在矩形中，，，分別在線段和上，且，為中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2).

【解析】

（1）先證，再由面面垂直推證平面，即可由線面垂直推證面面垂直；

（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的體積，結(jié)合幾何關(guān)系，即可容易求得結(jié)果.

（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于，四邊形如下圖所示：

因?yàn)?/span>，故可得，

故可得，

又因?yàn)?/span>，

則，

在中，，

故可得，

因?yàn)槠矫?/span>平面，且交線為，

又因?yàn)?/span>平面，

故可得平面.

又平面，

故可得平面平面.即證.

（2）因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，

故到平面的距離為到平面距離的；

又因?yàn)?/span>//，平面，

故//平面，

則點(diǎn)到平面的距離與到平面的距離相等.

故.

取中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

因?yàn)?/span>，故可得，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，且交于，

平面，

故平面，即平面.

即為到平面的距離.

又因?yàn)?/span>，，

故.

在中，因?yàn)?/span>，，

故，解得.

故.

即三棱錐的體積為.