Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）的焦距為2，過短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)的圓的面積為$\frac{4}{3}$π，過橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)P垂直于AB的直線與x軸交于點(diǎn)D（$\frac{1}{7}$，0），求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，在三角形中由勾股定理列出等式，根據(jù)已知的焦距大小，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l的方程為y=k（x-1），（k≠0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由韋達(dá)定理得D坐標(biāo)即可求k

解答 解：（1）過短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)的圓的半徑為$\frac{2}{\sqrt{3}}$，設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），
$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{（b-\frac{2}{\sqrt{3}}）^{2}+1=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l的方程為y=k（x-1），（k≠0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=-$\frac{6k}{3+4{k}^{2}}$．
∵P為線段AB的中點(diǎn)，則可得點(diǎn)P（$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$）．
又直線PD的斜率為-$\frac{1}{k}$，直線PD的方程為：y-$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}（x-\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）$．
令y=0得，x=$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∵AB的直線與x軸交于點(diǎn)D（$\frac{1}{7}$，0），∴$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}=\frac{1}{7}$，解得k=±1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計算能力，屬于中檔題．