Question

12．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₅=-3，S₁₀=-40．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若從數(shù)列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)與公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由已知得b_n=${a}_{{2}^{n}}$=-2×2ⁿ+7=-2ⁿ⁺¹+7，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₅=-3，S₁₀=-40，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=-3}\\{10{a}_{1}+45d=-40}\end{array}\right.$，解得a₁=5，d=-2，
∴a_n=-2n+7．
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，
∴b_n=${a}_{{2}^{n}}$=-2×2ⁿ+7=-2ⁿ⁺¹+7，
∴T_n=-（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）+7n
=-$\frac{{2}^{2}-{2}^{n+1}×2}{1-2}$+7n
=4+7n-2ⁿ⁺²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．