【題目】如圖, 為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線和橢圓均過(guò)點(diǎn),且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.

(1)的方程;

(2)是否存在直線,使得交于兩點(diǎn),與只有一個(gè)公共點(diǎn),且?證明你的結(jié)論.

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)利用正方形面積為2,即可得到對(duì)角線的長(zhǎng)為2,則可得的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),求的的值,再結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上,代入雙曲線結(jié)合之間的關(guān)系即可求的的值,得到雙曲線的方程,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)已知,點(diǎn)在橢圓上,利用橢圓的定義即為到兩焦點(diǎn)的距離之和,求出距離即可得到的值,利用之間的關(guān)系即可求出的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)分以下兩種情況討論,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線只有一個(gè)公共點(diǎn),即直線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn),得到直線的方程,代入雙曲線求的點(diǎn)的坐標(biāo)驗(yàn)證是否符合等式,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線消元得到二次方程,再利用根與系數(shù)之間的關(guān)系得到關(guān)于兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和的表達(dá)式,利用,再立直線與橢圓的方程即可得到直線的關(guān)系,可得到內(nèi)積不可能等于0,進(jìn)而得到,,即不存在這樣的直線.

的焦距為,由題可得,從而,因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線,所以,由橢圓的定義可得

,于是根據(jù)橢圓之間的關(guān)系可得,所以的方程為.

(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.

若直線垂直于,即直線的斜率不存在,因?yàn)?/span>只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線的方程為,

當(dāng)時(shí),易知所以,此時(shí).

當(dāng)時(shí),同理可得.

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),即直線的斜率存在且設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線方程可得,當(dāng)相交于兩點(diǎn)時(shí),設(shè),滿足方程,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,于是,聯(lián)立直線與橢圓可得

,因?yàn)橹本與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),

所以,化簡(jiǎn)可得,因此

,

于是,,所以,

綜上不存在符合題目條件的直線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x|2x﹣a|﹣1.

①當(dāng)a=0時(shí),不等式f(x)+1>0的解集為_____

②若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列命題中_________為真命題.

①“A∩B=A”成立的必要條件是“AB”w ②“x2+y2=0,則xy全為0”的否命題;

③“全等三角形是相似三角形的逆命題; ④“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的逆否命題.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】是定義在上的奇函數(shù),其圖象如圖所示,令,則下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是()

A. ,則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B. ,則方程有大于2的實(shí)根

C. ,則方程有兩個(gè)實(shí)根

D. ,則方程有兩個(gè)實(shí)根

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).

(1)求證:平面PAC平面PBC;

(2)若AC=1,PA=1,求圓心O到平面PBC的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)(x≠0,常數(shù)a∈R).

(1)判斷f(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由;

(2)若f(1)=2,試判斷f(x)在[2,+∞)上的單調(diào)性

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知f(x)=|2x﹣1|.
(1)求f(x)≤3x的解集;
(2)求f(x)+|x+1|≤1的解集.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】計(jì)算下列各式:

1

2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的方程為,雙曲線的一條漸近線與軸所成的夾角為,且雙曲線的焦距為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),過(guò)作直線 (與軸不重合)交橢圓于 兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率為,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案