Question

【題目】如圖， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過(guò)點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.

(1)求的方程；

(2)是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析:(1)利用正方形面積為2,即可得到對(duì)角線的長(zhǎng)為2,則可得的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),求的的值,再結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上,代入雙曲線結(jié)合之間的關(guān)系即可求的的值,得到雙曲線的方程,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)已知,點(diǎn)在橢圓上,利用橢圓的定義即為到兩焦點(diǎn)的距離之和,求出距離即可得到的值,利用之間的關(guān)系即可求出的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)分以下兩種情況討論,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線與只有一個(gè)公共點(diǎn),即直線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn),得到直線的方程,代入雙曲線求的點(diǎn)的坐標(biāo)驗(yàn)證是否符合等式,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線消元得到二次方程,再利用根與系數(shù)之間的關(guān)系得到關(guān)于兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和的表達(dá)式,利用出,再立直線與橢圓的方程即可得到直線的關(guān)系,可得到內(nèi)積不可能等于0,進(jìn)而得到,即,即不存在這樣的直線.

的焦距為,由題可得,從而,因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,由橢圓的定義可得

,于是根據(jù)橢圓之間的關(guān)系可得,所以的方程為.

(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.

①若直線垂直于軸,即直線的斜率不存在,因?yàn)?/span>與只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線的方程為或,

當(dāng)時(shí),易知所以,此時(shí).

當(dāng)時(shí),同理可得.

②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),即直線的斜率存在且設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線方程可得,當(dāng)與相交于兩點(diǎn)時(shí),設(shè),則滿足方程,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,于是,聯(lián)立直線與橢圓可得

,因?yàn)橹本�與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),

所以,化簡(jiǎn)可得,因此

,

于是,即,所以,

綜上不存在符合題目條件的直線.