Question

如圖，、為圓柱的母線，是底面圓的直徑，、分別是、的中點(diǎn)，．

（1）證明：；

（2）求四棱錐與圓柱的體積比；

（3）若，求與面所成角的正弦值．

 

Answer 1

解：（1）證明：連結(jié)，.

分別為的中點(diǎn)，

∴.…………………………………2分

又，且.

∴四邊形是平行四邊形，

即. ………………3分

∴.    ………………………4分

（2）由題，且由（1）知.

∴，∴ ，

∴.  …………………………………………………………………………6分

因是底面圓的直徑，得，且，

∴，即為四棱錐的高．………………………………………7分

設(shè)圓柱高為，底半徑為，則，

∴：.  …………………………………………………………………9分

（3）解一：由(1)(2)可知，可分別以為坐標(biāo)軸建立空間直角標(biāo)系，如圖

設(shè)，則，，

，從而，

，由題，是面

的法向量，設(shè)所求的角為.…………………12分

則.

………………………………14分

解二：作過的母線，連結(jié)，則

是上底面圓的直徑，連結(jié)，得

，又，

∴，連結(jié)，

則為與面所成的角，

設(shè)，則

，.……12分

在中，

．………………14分