Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD=3，且∠BCD=60°；E為CD中點，PA=PB=PC=PD=4．
（1）求證：AD⊥PE．
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接EB，推導出△EBC為等邊三角形，從而△PEB≌△PEC，進而PE⊥ABCD，由此能證明AD⊥PE．
（2）求出$PE=\sqrt{7}$，由此能出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 證明：（1）連接EB，∵ABCD為等腰梯形，E為CD中點，
∴BE=AD=BC，∴△EBC為等腰三角形，
又∠BCD=60°，故△EBC為等邊三角形．
∴BE=BCPD=PC，E為CD的中點，
PE⊥CD，
由BE=BC，PB=PC，PE=PE，
得△PEB≌△PEC，∴PE⊥EB，
BE∩BC=B，
∴PE⊥ABCD，
∵AD?ABCD，∴AD⊥PE．…（6分）
解：（2）∵PC=4，EC=3，∴$PE=\sqrt{7}$，${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}（3+6）•\frac{3}{2}\sqrt{3}=\frac{27}{4}\sqrt{3}$，
∴四棱錐P-ABCD的體積${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}•\sqrt{7}•\frac{27}{4}\sqrt{3}=\frac{9}{4}\sqrt{21}$…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．