Question

12．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，且（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1對(duì)一切n∈N^*都成立．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求λ的值，使數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（3）若λ=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，且（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1對(duì)一切n∈N^*都成立．分別取n=1，2，即可得出．
（2）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，解得λ=0．λ=0時(shí)，a_n=1，S_n=n，滿足（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1對(duì)一切n∈N^*都成立．
（3）λ=1時(shí)，a₁=1，a₂=1+λ=2，a₃=（1+λ）²=2²．猜想${a}_{n}={2}^{n-1}$，S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．滿足（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1對(duì)一切n∈N^*都成立．

解答 解：（1）a₁=1，且（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1對(duì)一切n∈N^*都成立．
∴n=1時(shí)，（S₂+λ）a₁=（S₁+1）a₂，即a₂+1+λ=2a₂，解得a₂=1+λ．
n=2時(shí)，（S₃+λ）a₂=（S₂+1）a₃，即（a₃+2λ+2）（1+λ）=（3+λ）a₃，解得a₃=（1+λ）²．
（2）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，
即2（1+λ）=1+（1+λ）²，解得λ=0．
λ=0時(shí)，a_n=1，S_n=n，滿足（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1對(duì)一切n∈N^*都成立．
（3）λ=1時(shí)，a₁=1，a₂=1+λ=2，a₃=（1+λ）²=2²．
猜想${a}_{n}={2}^{n-1}$，則S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
則（S_n+1+λ）a_n=（2ⁿ⁺¹-1+1）•2^n-1=4ⁿ．
（S_n+1）a_n+1=（2ⁿ-1+1）•2ⁿ=4ⁿ，
∴（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1對(duì)一切n∈N^*都成立．
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、猜想驗(yàn)證歸納能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．