Question

（19）在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求側面SBC與底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求異面直線SC與AB所成的角的大小（用反三角函數(shù)表示）.

Answer 1

（19）本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，考查邏輯思維能力、空間想象力及運算能力.

（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC

又AB∩AC=A，

∴SA⊥平面ABC

由于　∠ACB=90°，即BC⊥AC，

由三垂線定理，得SC⊥BC.

 

（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，

∴　∠SCA是側面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由BC=，SB=，得SC=＝4.

在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cosSCA=＝.

∴∠SCA=60°，即側面SBC與底面ABC所成二面角的大小為60°.

 

（Ⅲ）解：過點C作CD∥BA，過點A作BC的平行線交CD于D，連結SD，則∠SCD是異面直線SC與AB所成的角.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

DC=AB=＝，

SA＝＝2，

SD＝＝＝5.

在△SCD中

cosSCD＝

＝.

∴SC與AB所成的角的大小.