如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAA1=60°，AA1=2AC，BC⊥平面AA1C1C．
（1）證明：A1C⊥AB；
（2）設(shè)BC=AC=2，求三棱錐C-A1BC1的體積．
（1）證明：在△ACA1中，
由余弦定理得A1C2=AC2+AA12-2AC•AA1cos60°=3AC2，
∴A1C=
3
AC，
∴AC2+A1C2=A1A2，∴∠ACA1=90°，∴A1C⊥AC．
∵BC⊥平面AA1C1C，∴BC⊥A1C．
∵AC∩BC=C，∴A1C⊥平面ABC，∴A1C⊥AB．
（2）作A1E⊥CC1，CF⊥AA1．
則A1E⊥平面BCC1B1，四邊形A1ECF為矩形．
在Rt△ACF中，CF=ACsin60°=
3
．
S△BCC1=
1
2
×4×2=4，
∴V三棱錐C-A1C1B=V三棱錐A1-BCC1=
1
3
×4×
3
=
4
3
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠CAB=
3
5
，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC1
（2）求證：AC1∥平面CDB1
（3）求三棱錐A1-B1CD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面BDD1；
（3）求證：直線PB1⊥平面PAC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=CD=
6
，∠BAC=60°，E為AC的中點(diǎn)；現(xiàn)將△ACD沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D在平面ABC上的射影H落在BC上．
（1）求證：AB⊥平面BCD；
（2）求三棱錐D-ABE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC中共有（　　）個(gè)直角三角形．
A．4B．3C．2D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求此時(shí)異面直線AE和CH所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=3的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求證：面PAD⊥面PAB．
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，PD=AD=DC=2AB，則異面直線PA與BC所成角的余弦值為（　�。�
A．
15
5
B．
10
5
C．-
10
5
D．
10
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求證：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一點(diǎn)P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論．

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同步練習(xí)冊(cè)答案