Question

16．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-1，0），且經過點（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知橢圓的弦AB過點F，且與x軸不垂直．若D為x軸上的一點，DA=DB，求$\frac{AB}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的定義，即可求得2a=4，由c=1，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓的標準方程；
（2）分類討論，當直線的斜率存在時，代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標公式求得M點坐標，求得直線AB垂直平分線方程，即可求得D點坐標，由橢圓的第二定義，求得丨AF丨=$\frac{1}{2}$（x₁+4），即丨BF丨=$\frac{1}{2}$（x₂+4），利用韋達定理即可求得丨AB丨，即可求得$\frac{丨AB丨}{丨DF丨}$的值．

解答 解：（1）由題意，F（-1，0），由焦點F₂（1，0），且經過P（1，$\frac{3}{2}$），
由丨PF丨+丨PF₂丨=2a，即2a=4，則a=2，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設直線AB的方程為y=k（x+1）．
①若k=0時，丨AB丨=2a=4，丨FD丨+丨FO丨=1，
∴$\frac{丨AB丨}{丨DF丨}$=4．
②若k≠0時，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（x₀，y₀），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，則x₀=-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，則y₀=k（x₀+1）=$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$．
則AB的垂直平分線方程為y-$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
由丨DA丨=丨DB丨，則點D為AB的垂直平分線與x軸的交點，
∴D（-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，0），
∴丨DF丨=-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+1=$\frac{3+3{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
由橢圓的左準線的方程為x=-4，離心率為$\frac{1}{2}$，由$\frac{丨AF丨}{{x}_{1}+4}$=$\frac{1}{2}$，得丨AF丨=$\frac{1}{2}$（x₁+4），
同理丨BF丨=$\frac{1}{2}$（x₂+4），
∴丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）+4=$\frac{12+12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{丨AB丨}{丨DF丨}$=4
則綜上，得$\frac{丨AB丨}{丨DF丨}$的值為4．

點評 本題考查橢圓方程、韋達定理、向量知識、直線方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，數形結合思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．