Question

已知真命題：過橢圓左頂點A（-a，0）作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于另外兩點M、N，則直線MN過定點．類比此命題，寫出關于拋物線y²=2px（p＞0）的一個真命題：    ．

Answer 1

【答案】分析：由類比推理，來得到關于拋物線的類似結(jié)論，易知在拋物線中有“過拋物線y²=2px（p＞0）的頂點O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點M、N，則直線MN過定點P（2p，0）”求解即可．
解答：解：已知過橢圓左頂點A（-a，0）作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于另外兩點M、N，則直線MN過定點．
類比此命題，取特殊的拋物線：直線l與拋物線y²=2x相交于A、B兩點，O為拋物線的頂點，若OA⊥OB．證明：直線l過定點如下：
證明：設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
（I）當直線l有存在斜率時，設直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．（2分）
聯(lián)立方程得：消去y得k²x²+（2kb-2）x+b²=0
由題意：（5分）
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
即 ，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）
故直線l的方程為：y=kx-2k=k（x-2），故直線過定點（2，0）（11分）
（II）當直線l不存在斜率時，設它的方程為x=m，顯然m＞0
聯(lián)立方程得：解得 ，即y₁y₂=-2m
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即m²-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直線l方程為：x=2，故直線過定點（2，0）
綜合（1）（2）可知，滿足條件的直線過定點（2，0）．
故寫出關于拋物線y²=2px（p＞0）的一個真命題：過拋物線y²=2px（p＞0）的頂點O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點M、N，則直線MN過定點P（2p，0）
故答案為：過拋物線y²=2px（p＞0）的頂點O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點M、N，則直線MN過定點P（2p，0）．
點評：本題主要考查類比推理，可以先猜測在拋物線中成立的命題在橢圓里面也成立．再計算在這個具體的橢圓里面所求的定值．關于橢圓的一個恒等式：“+=”是一個經(jīng)常用到的式子，在以后的學習過程中希望大家多總結(jié)．