Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，，其中m≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的首項和公比；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時，求b_n；
（Ⅲ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若對于任意的正整數(shù)n，都有S_n∈[1，3]，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，我們只要根據(jù)b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，，求出a₁，a₂然后根據(jù)公比的定義，即可求出數(shù)列{a_n}的首項和公比．
（2）當(dāng)m=1時，結(jié)合（1）的結(jié)論，我們不難給出數(shù)列{a_n}的通項公式，并由b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*給出b_n的表達(dá)式，利用錯位相消法，我們可以對其進(jìn)行化簡，并求出b_n；
（3）由S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，及（1）的結(jié)論，我們可以給出S_n的表達(dá)式，再由S_n∈[1，3]，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于m的不等式，解不等式，即可得到實數(shù)m的取值范圍．在解答過程中要注意對n的分類討論．
解答：解：（Ⅰ）由已知b₁=a₁，
所以a₁=m
b₂=2a₁+a₂，
所以，
解得，
所以數(shù)列{a_n}的公比．
（Ⅱ）當(dāng)m=1時，，
b_n=na₁+（n-1）a₂++2a_n-1+a_n①，
②，
②-①得

所以，

（Ⅲ）
因為，
所以，由S_n∈[1，3]得
，
注意到，當(dāng)n為奇數(shù)時，
當(dāng)n為偶數(shù)時，
所以最大值為，最小值為．
對于任意的正整數(shù)n都有，
所以，2≤m≤3．
即所求實數(shù)m的取值范圍是{m|2≤m≤3}．
點評：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積組成，則求此數(shù)列的前n項和Sn，一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子錯位相減法，要注意對字母的討論．