Question

 

    在長方體中，，過、、三點的平面截去

    長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體

    積為。

   （I）求棱的長；

   （Ⅱ）在線段上是否存在點P，使直線與垂直，如果存在，求線段的長，如果不存在，請說明理由；

   （Ⅲ）求平面與平面所成二面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）設(shè)，因為幾何體的體積為

所以，

即

即，解得

所以的長為4.

（Ⅱ）在線段上存在點使直線與垂直。

以點為坐標(biāo)原點，分別以所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的

空間直角坐標(biāo)系

由已知條件與（I）可知，，

假設(shè)在線段上存在點使直線

與垂直。

則過點作交于點

由題易證得

所以，所以，所以。

因為，所以，即，所以

此時點的坐標(biāo)為，且在線段上

因為，所以

所以在線段上存在點，使直線與垂直，且線段的長為（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知所以

設(shè)平面的一個法向量為，

則，解得

所以

因為平面的一個法向量為，且平面與平面所成的二面角是一個銳角、所以（12分）