Question

已知橢圓的離心率e=

2

2

，一條準(zhǔn)線方程為x=4，P為準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的焦距|F₁F₂|為直徑作圓O，直線PF₁，PF₂與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）探究直線MN是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓的離心率e=

2

2

，一條準(zhǔn)線方程為x=4，
∴

c a = 2 2 a2 c =4

∴a=2

2

，c=2
∴b²=a²-c²=4
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）由題意，F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），∴⊙O的方程為x²+y²=4
設(shè)P（4，m）則直線PF₁的方程為y=

m

6

(x+2)
代入圓的方程，可得（m²+36）x²+4m²x+4（m²-36）=0
∴x₁=-2，x₂=-

2(m2-36)

m2+36

∴M（-

2(m2-36)

m2+36

，

24m

m2+36

）
同理可得N（

2(m2-4)

m2+4

，

-8

m2+4

）
若MN⊥x軸，則-

2(m2-36)

m2+36

=

2(m2-4)

m2+4

，解得m²=12，此時(shí)點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)都為1，直線MN過(guò)定點(diǎn)（1，0）；
若MN與x軸不垂直，即m²≠12，此時(shí)，k_MN=

-8 m2+4 - 24m m2+36

2(m2-4) m2+4 + 2(m2-36) m2+36

=

-8m

m2-12

∴直線MN的方程為y-

-8

m2+4

=

-8m

m2-12

[x-

2(m2-4)

m2+4

]
即y=

-8m

m2-12

(x-1)
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)（1，0），
綜上，直線MN過(guò)定點(diǎn)（1，0）．