Question

（1）已知兩正數(shù)x，y滿足x+2y=1，求xy的最大值
（2）當x∈（1，+∞），不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（2）當x∈（1，+∞），不等式x+

1

x-1

≥a恒成立?a≤(x+

1

x-1

)min，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵兩正數(shù)x，y滿足x+2y=1，
∴1≥2

2xy

，化為xy≤

1

8

，當且僅當x=2y=

1

2

時取等號，
∴xy的最大值是

1

8

．
（2）∵x∈（1，+∞），不等式x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥2

(x-1)• 1 x-1

+1=3，當且僅當x=2時取等號．
∵當x∈（1，+∞），不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，
∴a≤(x+

1

x-1

)min，
∴a≤3．
∴a的取值范圍是（-∞，3]．

點評：本題考查了基本 不等式的性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，屬于基礎(chǔ)題．