Question

6．已知函數(shù)f（x）（x∈D），若存在常數(shù)T（T＞0），對任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），則稱函數(shù)f（x）為T倍周期函數(shù)
（1）判斷h（x）=x是否是T倍周期函數(shù)，并說明理由；
（2）證明：g（x）=（$\frac{1}{4}$）^x是T倍周期函數(shù)，且T的值是唯一的；
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函數(shù)，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 項(xiàng)和，C_n=$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{2n-1}}$，求$\underset{lim}{n→∞}$C_n．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)設(shè)h（x+T）=T•h（x）進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）通過設(shè)g（x+T）=T•g（x）并令x=0可知T=$\frac{1}{2}$，分T＞$\frac{1}{2}$、T＜$\frac{1}{2}$兩種情況證明唯一性即可；
（3）利用f（n+2）=2•f（n）及f（1）=1、f（2）=-4分別計(jì)算出n為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)的值，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算可知S_2n=-3（2ⁿ-1）、S_2n-1=-2ⁿ+3，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）結(jié)論：h（x）=x不是T倍周期函數(shù)．
理由如下：
依題意，設(shè)h（x+T）=T•h（x），則x+T=T•x對任意x恒成立，
∵T無解，
∴h（x）=x不是T倍周期函數(shù)；
（2）證明：設(shè)g（x+T）=T•g（x），則$（\frac{1}{4}）^{x+T}$=T•$（\frac{1}{4}）^{x}$對任意x恒成立，
令x=0，得$（\frac{1}{4}）^{T}$=T，即T=$\frac{1}{2}$；
下證唯一性：
若T＞$\frac{1}{2}$，T=$（\frac{1}{4}）^{T}$＜$（\frac{1}{4}）^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，矛盾；
若T＜$\frac{1}{2}$，T=$（\frac{1}{4}）^{T}$＞$（\frac{1}{4}）^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，矛盾；
∴T=$\frac{1}{2}$是唯一的；
（3）解：依題意，f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，
f（5）=f（3+2）=2f（3）=2²，
f（7）=f（5+2）=2f（5）=2³，
…
f（2n-1）=f（2n-3+2）=2f（2n-3）=2^n-1，
∴f（1）+f（3）+…f（2n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，
同理可得：f（2）+f（4）+…+f（2n）=-4（1+2+2²+…+2^n-1）=-4（2ⁿ-1），
∴S_2n=f（1）+f（2）+…+f（2n）=-3（2ⁿ-1），
同理S_2n-1=f（1）+f（2）+…+f（2n-1）=-2ⁿ+3，
∴$\underset{lim}{n→∞}$C_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{2n-1}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3（{2}^{n}-1）}{{2}^{n}-3}$=3．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和與極限，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．