Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：對(duì)任意的x≥0，都有．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，使導(dǎo)數(shù)大于0的區(qū)間就是函數(shù)的增區(qū)間，使導(dǎo)數(shù)小于0的區(qū)間就是函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅱ）令，利用導(dǎo)數(shù)F'（x）≤0，可得因而F（x）在[0，+∞）上遞減，
對(duì)于?x≥0，都有F（x）≤F（0）=0，不等式得到證明．
解答：解：（1）由已知得，（2分）
令f'（x）＞0，得2cosx+1＞0，即，
解得（4分）
令f'（x）＜0，得2cosx+1＜0，即，
解得（6分）
故單增區(qū)間為，
單減區(qū)間為．（k∈Z）
（2）令，
則，（8分）
故對(duì)于?x≥0，都有F'（x）≤0因而F（x）在[0，+∞）上遞減，（10分）
對(duì)于?x≥0，都有F（x）≤F（0）=0
因此對(duì)于?x≥0，都有（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．