Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，然后構(gòu)造函數(shù)，通過判斷F(x)的單調(diào)性和最值即可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）“函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可得到答案.

（1）

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

令，則

令，得；令，得

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以

所以對(duì)任意恒成立，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）（法一）：的定義域?yàn)?/span>，

所以“函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”即方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

故上述問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖

若令過原點(diǎn)且與函數(shù)圖像相切的直線斜率為，由圖可得

令切點(diǎn)

由，得，所以

又，所以，解得：

于是，所以

故實(shí)數(shù)的取值范圍是

（法二）的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)，，

所以在單調(diào)遞增，所以在不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，

當(dāng)時(shí)，令，得，

在上，，在上單調(diào)遞增，

在上，，在上單調(diào)遞減，

所以，

又時(shí)，，

時(shí)，，

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則有

即

所以

所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.