Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（Ⅰ）求證：f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）通過(guò)研究f（x）的性質(zhì)，作出函數(shù)f（x）的大致圖象．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，并分析x∈（0，1）時(shí)和x∈（1，+∞）時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得到函數(shù)在這兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．
（II）分析函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而結(jié)合（I）分析出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值后，可得函數(shù)f（x）的大致圖象要．

解答：解：（I）∵f（x）=x+

1

x

．
∴f′（x）=1-

1

x2

．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，

1

x2

＞1，此時(shí)f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，

1

x2

＜1，此時(shí)f′（x）＞0，故f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
（II）∵f（x）=x+

1

x

．
∴f（-x）=-x-

1

x

=-f（x）
即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相同，
由（I）得：f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，在（-1，0）上是減函數(shù)；
又由x=-1時(shí)，f（-1）=-2，又由x=1時(shí)，f（1）=2
故函數(shù)f（x）的大致圖象如右圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的極值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．