Question

已知點(diǎn)P為拋物線y²=4x上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，5），則|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A、8
• B、7
• C、5

  2

• D、5

  2

  -1

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，可把問題轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線與P到A點(diǎn)距離之和最小，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知拋物線中P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷出P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)|PF|+|PA|距離之和最小，利用兩點(diǎn)間距離公式求得|FA|，則|PA|+|PM|可求．

解答： 解：依題意可知，拋物線焦點(diǎn)為（0，1），準(zhǔn)線方程為y=-1
只需直接考慮P到準(zhǔn)線與P到A點(diǎn)距離之和最小即可，（因?yàn)閤軸與準(zhǔn)線間距離為定值

p

2

=1不會影響討論結(jié)果），
由于在拋物線中P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點(diǎn)的距離，
此時(shí)問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為|PF|+|PA|距離之和最小即可（F為曲線焦點(diǎn)），
顯然當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)|PF|+|PA|距離之和最小，為|FA|，
由兩點(diǎn)間距離公式得|FA|=

(6-1)2+52

=5

2

，
那么P到A的距離與P到x軸距離之和的最小值為|FA|-

p

2

=5

2

-1
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和分析推理能力．