Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，M、N分別是對角線AD₁、BD上的點，且AM=BN=x．
（1）證明：直線MN∥平面B₁D₁C．
（2）MN⊥AD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作ME∥DD₁，連接NE，證明NE∥CD，∠MNE=∠D₁CD=45°，即可得出結(jié)論；
（2）證明AD⊥平面MNE，可得MN⊥AD．

解答： 證明（1）作ME∥DD₁，連接NE，則
∵M、N分別是對角線AD₁、BD上的點，且AM=BN=x．
∴NE∥AB，ME=NE，
∴NE∥CD，
∵∠MNE=∠D₁CD=45°，
∴MN∥D₁C
∵MN?平面B₁D₁C，D₁C?平面B₁D₁C
∴EF∥平面B₁D₁C；
（2）由（1）知，AD⊥ME，AD⊥EN，
∵ME∩NE=E，
∴AD⊥平面MNE，
∵MN?平面MNE，
∴MN⊥AD．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，正確運用判定定理是關(guān)鍵．