Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log ．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=log ．

定義域需滿足： ，即﹣x2+2x+8＞0

解得：﹣2＜x＜4

∴f（x）的定義域為{x|﹣2＜x＜4}

（2）解：設u=﹣x2+2x+8，對數(shù)的底數(shù)小于1，根據(jù)性質可知，函數(shù)f（x）= 是減函數(shù)，

函數(shù)u=﹣x2+2x+8=﹣（x+1）2+9，t=

∴0＜u≤9

∴0＜t≤3，

∵f（x）= 在（0，+∞）減函數(shù)，

∴f（x）的值域是[ ，+∞）

【解析】（1）由真數(shù)大于零即不等式即可得到函數(shù)的定義域。（2）利用復合函數(shù)的性質結合二次函數(shù)的最值情況即可得出函數(shù)的值域。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關知識，掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，以及對函數(shù)的值域的理解，了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的．