Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ-4=0．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P為曲線C₁上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到曲線C₂的距離|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，將C₁的參數(shù)方程化為普通方程，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法得到曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求點(diǎn)P到曲線C₂的距離|PQ|的最大值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ得，曲線C₁的普通方程得$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．…（3分）
由ρcosθ-ρsinθ-4=0得，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x-y-4=0．     …（5分）
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），則點(diǎn)P到曲線C₂的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4-2cos（θ+\frac{π}{6}）}{\sqrt{2}}$ …（8分）
當(dāng)cos（θ+$\frac{π}{6}$）=-1時(shí)，d有最大值3$\sqrt{2}$，所以|PQ|的最大值為3$\sqrt{2}$．      …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．