Question

16．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞a＞0）$的左焦點(diǎn)F₁（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)F₁E交雙曲線右支于點(diǎn)P．若E是F₁P中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 通過(guò)雙曲線的特點(diǎn)知原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)，求出PF′的長(zhǎng)度及判斷出PF′垂直于PF，通過(guò)勾股定理得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，記右焦點(diǎn)為F′，則O為FF′的中點(diǎn)，
∵E為PF的中點(diǎn)，
∴OE為△FF′P的中位線，
∴PF′=2OE=a，
∵E為切點(diǎn)，
∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∵點(diǎn)P在雙曲線上，
∴PF-PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，有：PF²+PF′²=FF′²，
∴9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．