Question

16．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），其中a＞b＞0，以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂：ρ=2cosθ，射線l：θ=α（ρ≥0），設射線l與曲線C₁交于點P，當α=0時，射線l與曲線C₂交于點O，Q，|PQ|=1；當α=$\frac{π}{2}$時，射線l與曲線C₂交于點O，|OP|=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程；
（Ⅱ）設直線l′：$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≠0）與曲線C₂交于點R，若α=$\frac{π}{3}$，求△OPR的面積．

Answer 1

分析 （1）求出C₁，C₂的普通方程，就兩種情況分別求出P點坐標，根據(jù)距離列方程求出a，b，得出C₁的普通方程；
（2）聯(lián)立方程組求出P，R的坐標，利用距離公式計算|OP|和R到射線OP的距離即可求出三角形的面積．

解答 解：（1）曲線C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
曲線C₂的直角坐標方程為（x-1）²+y²=1．
當α=0時，P（a，0），Q（2，0），∴a=1或3．
當$α=\frac{π}{2}$時，P（0，b），∴b=$\sqrt{3}$．
∵a＞b＞0，∴a=3，b=$\sqrt{3}$．
∴曲線C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）把：$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$代入方程（x-1）²+y²=1得2t²+t=0．
解得t=-$\frac{1}{2}$或t=0（舍）．
∴R（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
當$α=\frac{π}{3}$時，射線l的方程為y=$\sqrt{3}x$（x≥0）．即$\sqrt{3}x-y=0$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，y=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$．即P（$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\frac{3\sqrt{30}}{10}$）．
∴|OP|=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，R到射線OP的距離d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴△OPR的面積S=$\frac{1}{2}•OP•d$=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{10}}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{30}}{20}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程，普通方程的互化，直線與曲線的交點坐標，距離公式的應用，屬于中檔題．