Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₃+a₅=10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得d=1，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=a_n•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a₁=2，a₃+a₅=10，即為2a₁+6d=10，
解得d=1，
則a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1；
（2）b_n=a_n•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ，
前n項(xiàng)和S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-S_n=4+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得，前n項(xiàng)和S_n=n•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．