Question

6．直線l經(jīng)過點(diǎn)P（5，5），其斜率為k，直線l與圓x²+y²=25相交，交點(diǎn)分別為A，B．
（1）若AB=4$\sqrt{5}$，求k的值；
（2）若AB＜2$\sqrt{7}$，求k的取值范圍；
（3）若OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的值．

Answer 1

分析 （1）分情況討論斜率是否存在，直接利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出k值；
（2）利用點(diǎn)到直線距離關(guān)系判斷圓與直線的位置關(guān)系，列出不等式即可；
（3）因?yàn)镺A⊥OB，OA=OB，故△OAB是等腰直角三角形，再次利用點(diǎn)到直線的距離即可求出k值；

解答 解：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為x=5，此時(shí)直線l與圓x²+y²=25相切，不合題意．
設(shè)直線l的方程為y-5=k（x-5），即kx-y+5-5k=0，
由題得：$\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{{5^2}-{{（2\sqrt{5}）}^2}}$，化簡(jiǎn)得：2k²-5k+2=0，解得$k=\frac{1}{2}$或k=2．
（2）由$AB＜2\sqrt{7}$得$2\sqrt{{5^2}-{d^2}}＜2\sqrt{7}$，得d²＞18，
即${（{\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}）^2}＞18$，解得$k＜\frac{1}{7}$或k＞7．
又因?yàn)橹本�l與圓x²+y²=25交與兩點(diǎn)，所以d＜5，
即$\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜5$，解得k＞0
所以k的取值范圍為$0＜k＜\frac{1}{7}$或k＞7．
（3）∵OA⊥OB，OA=OB，∴△OAB是等腰直角三角形．
∴O到直線l的距離$d=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{{|{5-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$，
解得$k=2±\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式以及直線斜率等知識(shí)點(diǎn)，屬中等題．