Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)．
（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）已知正數(shù)a滿足：存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀²+3x₀）成立．試比較e^a-1與a^e-1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)恒成立問題,不等式比較大小

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）利用參數(shù)分離法，將不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值問題即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）構(gòu)u造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，最值與單調(diào)性之間的關(guān)系，分別進(jìn)行討論即可得到結(jié)論．

解答： （1）證明：∵f（x）=e^x+e^-x，
∴f（-x）=e^-x+e^x=f（x），
∴f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）解：若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤

e-x-1

ex+e-x-1

在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)t=e^x，（t＞1），則m≤

1-t

t2-t+1

在（1，+∞）上恒成立，
∵

1-t

t2-t+1

=-

t-1

(t-1)2+(t-1)+1

=-

1

t-1+ 1 t-1 +1

≥-

1

3

，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即x=ln2時等號成立，
∴m≤-

1

3

；
（3）令g（x）=e^x+e^-x-a（-x³+3x），
則g′（x）=e^x-e^-x+3a（x²-1），
當(dāng)x＞1，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故此時g（x）的最小值g（1）=e+

1

e

-2a，
由于存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，
故e+

1

e

-2a＜0，
即a＞

1

2

（e+

1

e

），
令h（x）=x-（e-1）lnx-1，
則h′（x）=1-

e-1

x

，
由h′（x）=1-

e-1

x

=0，解得x=e-1，
①當(dāng)0＜x＜e-1時，h′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
②當(dāng)x＞e-1時，h′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值為h（e-1），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴當(dāng)x∈（1，e-1）⊆（0，e-1）時，h（e-1）≤h（x）＜h（1）=0，
當(dāng)x∈（e-1，e）⊆（e-1，+∞）時，h（x）＜h（e）=0，
∴h（x）＜0，對任意的x∈（1，e）成立．
①a∈（

1

2

（e+

1

e

），e）⊆（1，e）時，h（a）＜0，即a-1＜（e-1）lna，從而a^e-1＞e^a-1，
②當(dāng)a=e時，a^e-1=e^a-1，
③當(dāng)a∈（e，+∞），e）⊆（e-1，+∞）時，當(dāng)a＞e-1時，h（a）＞h（e）=0，即a-1＞（e-1）lna，從而a^e-1＜e^a-1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷、最值以及恒成立問題的處理方法，關(guān)鍵是借助于導(dǎo)數(shù)解答本題．